Análisis de Fourier

Muchas veces hemos escuchado los términos: frecuencia, periodo, oscilación, telecomunicaciones, entre otros. Estos términos tan comunes en la vida cotidiana son mencionados de manera casi automática que esconde la profundidad de ellos, a la vez que impide su comprensión en los fenómenos que suceden en la sociedad contemporánea, dejándo el trabajo a los ingenieros y físicos, esos seres que hablan un idioma que nadie entiende, solamente ellos.

En nuestro día a día, vemos: sucesos, hechos, fenómenos y acontecimientos que se repiten cada cierto tiempo. Por ejemplo, nosotros sabemos que el Sol se ocultan debajo del horizonte y que es cuestión de tiempo para que vuelva a emerger del horizonte; vemos que cada cierto tiempo, el reloj completa una vuelta y que es cuestión de tiempo para que vuelva a completar otra; sabemos que nuestros padres salen de sus autos camino a sus trabajos, y que al cabo de un tiempo, veremos que los coches regresan. Muchos fenómenos de nuestra vida tienen cierta repetición. Esto es lo que los científicos conocen como frecuencia, esa repetición de algún suceso cada cierto tiempo. En ocasiones, este tiempo necesario para que vuelva a ocurrir ese fenómeno es el mismo, a veces difiere un poco de su valor esperado; a veces las cosas demoran un poco más de lo que pensamos, o por el contrario, a veces son más prontas de lo que esperamos; pero en general, se tiene un valor esperado. Este valor del tiempo en que tarda un fenómeno en volver a suceder, se le conoce como periodo.

Entonces, muchas personas del pasado se percataron de esto: de la frecuencia y del periodo en su vida cotidiana; lo que pocas personas se percataron es que precisamente estos fenómenos que tienen cierta repetición o periodicidad pueden ser modelados con un lápiz y una hoja, es decir, genios del pasado redujeron la naturaleza a expresiones abstractas donde en lugar de dibujar ese fenómeno y su periodo, ellos construyeron una nueva forma de representar estos fenómenos periódicos: funciones periódicas.

Es probable que hayas visto esta gráfica en algún lugar, en televisión, en el cine, en libros, en el pizarrón de tu salón de clases, entre otros. Esta gráfica es un ejemplo de una función perídica, es decir, esta gráfica representa un fenómeno que se repite cada cierto lapso de tiempo. El eje horizontal representa el tiempo, mientras que el eje vertical representa la magnitud de este fenómeno. Pero, ¿a qué se refiere con magnitud? Veamos un ejemplo ilustrado en las figuras 2 y 3.

En la figura anterior se ve que el brillo del Sol es muy poco, la iluminación es muy pobre, casi obscura; mientras que en la tercera figura, se ve que el brillo del Sol es mucho mayor, mucha iluminación. Pues esto puede ser representado en la gráfica. Sabemos que cuando el Sol está saliendo del horizonte hay poco brillo, está muy oscuro, pero conforme va pasando el tiempo, su brillo comienza a aumentar hasta que llega a su punto a mediodía, para posteriormente, comenzar a disminuir hasta que anochezca. Pues este grado del brillo del sol a diferentes momentos es la magnitud de la que se comentó antes.

Ahora, estos fenómenos periódicos son muy complejos, es decir, su modelaje o representación en una función es sumamente complicada porque intervienen muchos factores. Por ejemplo, para representar el brillo del Sol no basta con la luminosidad de éste, sino también afecta la presencia de nubes, la ubicación geográfica de la Tierra, los ciclos solares, entre otros. Todo esto para analizar una cierta característica del fenómeno, ya que también este sistema (Sol) otorga más información, como la variación de la temperatura ambiental, la variación del color debido a la atmósfera y a la inclinación, entre otros. Entonces, todo esto puede complejizarse bastante. Por ello, es conveniente prestar atención solo a cierta característica en la que estemos interesados; en nuestro ejemplo: el brillo del Sol.

Entonces, ciertas características de los fenómenos periódicos pueden ser modelados con las herramientas matemáticas apropiadas para estudiarlos y aprender de ellos, y usar ese conocimiento para el beneficio de la sociedad.

Pero la naturaleza no deja las cosas tan sencillas, si fuera así, nadie necesitaría esforzarse. Y es que al intentar modelar estos fenómenos periódicos, suele suceder que son bastante complicados. Por ejemplo, la primera imagen no parece nada fácil de reproducir.

En la primera imagen, parece una tarea ardúa el intentar estudiar esta función por la forma que tiene y su comportamiento como función del tiempo. Esto representó un problema para los físicos y matemáticos del pasado, hasta que llegó un personaje bastante ingenioso que resolvió el problema: Joseph Fourier.

Fourier comprendió que las funciones periódicas son, en general, complicadas. Así que buscó la manera de representarlas en términos de funciones muy conocidas: las llamadas funciones seno y coseno. Él se percató de que estas funciones periódicas complicadas pueden representarse en términos de funciones trigonométricas mediante na suma infinita de estos términos cuyas frecuencias son múltiplos de la frecuencia original. Este método matemático se conoce como la serie de Fourier.

En la figura anterior, se aprecia la gran ventaja de este método. Ahora ya es más sencillo analizar la función original porque este método lo que hace es que aproxima un conjunto de funciones seno y coseno a la función original de tal manera que replica la función original, permitiendo su estudio de una manera más sencilla y eficiente.

Desafortunadamente, la gran mayoría de fenómenos que ocurren en la naturaleza no tienen periodo, es decir, solo suceden una vez, o su periodo es tan largo que a efectos prácticos pueden considerarse como aperiódicas o que estos fenómenos no siguen una repetición constante. En ese caso, se requiere una herramienta matemática más poderosa. Se requiere artillería pesada: la transformada de Fourier.

Debido a existen muchos problemas del mundo real que involucran señales no periódicas, para analizarlas se usa la transformada de Fourier, la cual asume un periodo infinito. Aunque no es necesario que sea infinito.

Para visualizar la utilidad de la transformada de Fourier, consideremos la siguiente imagen.

Esta señal (información de una característica medible de un fenómeno ) no se aprecia muy díficil, pero tampoco es sencilla si no se sabe cómo tratarla. Lo deseable es que esta señal se pueda descomponer en señales más sencillas de analizar, más familiares.

La figura anterior muestra dos señales periódicas sencillas de tratar. Se desea hacer de la figura anterior a ésta algo muy similar a la figura de arriba, y de hecho, lo es. La figura anterior muestra que si se suman las dos señales en línea discontinua, la señal resultante es la línea continua. Esto parece sugerir que hay maneras de lograr esto, y no solo por el ingenio de alguien brillante. De hecho, esta es una de las utilidades de la transformada de Fourier. La transformada de Fourier es una herramienta matemática que permite descomponer una señal no periódica en sus armónicos contituyentes. Este hecho queda ilustrado en la siguiente imagen.

La señal en color rojo periódica representa la señal original a la que se le está midiendo la magnitud de una característica y su periodo. Cuando se le aplica la transformada de Fourier, descomponemos esta señal original en términos de funciones seno, coseno y sumas entre ellos (lo que se conoce como combinación lineal). No solo se puede hacer esto, sino que cuando se tienen las señales constituyentes, estas se pueden graficar en función de su frecuencia.

Es importante diferenciar esta imagen, ya que en una gráfica se aprecian que el eje horizontal es con respecto al tiempo; mientras que la segunda es con respecto a la frecuencia. La segunda gráfica muestra algo muy interesante y es que nos permite analizar las señales en términos de su frecuencia. Una característica muy importante de las señales, es que su energía está íntimamente conectada a su frecuencia. Esto es, si la frecuencia es muy alta, la señal es muy enegética; mientras que si su frecuencia es baja, la señal es poco energética. En otras palabras, la transformada de Fourier nos dice la manera en cómo se distribuye la energía de la señal en función de la frecuencia, y a mayor profundidad, revela el espectro de la señal.

Ahora, ¿de qué me sirve saber esto? ¿En qué me afecta la serie de Fourier?

Una pregunta más acertada sería, ¿en qué no me afecta? Todos los procesos de telecomunicaciones requieren el análisis de Fourier. Las señales que se transmiten en el aire deben llegar a sus destinos sin mezclarse, es decir, debe haber un orden de éstas en el aire. Esto sucede así porque al sintonizar la radio en una estación cualquiera, al encender la televisión, al revisar el teléfono celular no se reciben audios, imágenes o señales mezcladas porque los aparatos utilizados están diseñados para diferenciar las distintas frecuencias provenientes de una fuente. Por ejemplo, en el aire se emiten ondas de radio a distintas frecuencias y como son ondas, éstas poseen la propiedad de superposición, esto es, las dos ondas se suman. Esto significa que si las pudiéramos escuchar sería los sonidos mezclados, haciendo todo esto muy confuso. Esto mismo también sucedería con imágenes. Por esto, al calibrar la frecuencia del aparato, se consigue ignorar las otras señales, y solo aceptar la señal de interés. Esto también aplica al rudido acústico.

Lo anterior también aplica a las ondas electromagnéticas, es decir, la luz, ondas de microondas, de radio, entre otros. Como éstas viajan en el aire, también se pueden superponer, y por lo tanto, también se puede aplicar el análisis de Fourier. Se puede utilizar el espectro electromagnético para transmitir señales de radio, televisión, telefonía celular y wifi en un ambiente para que los aparatos electrónicos reciban lo que necesiten. Estos aparatos son capaces de elegir las frecuencias que necesitan.

Otra aplicación en ingeniería civil es el análisis del comportamiento de grandes estructuras, tales como los puentes, ante fuerzas provocadas por viento o movimientos telúricos como los sismos. Además, hay una nueva aplicación que es el reconocimiento de la voz o la identificación biométrica por sonido.

Se ha visto que este análisis está presente en la vida de toda la sociedad contemporánea en todos los ámbitos, desde telecomunicaciones mediante aparatos, internet, imágenes, sonidos. También está en las estructuras arquitectónicas, entre otros.